Язык точных высказываний
В последнее время в английских школах математике уделяется повышенное внимание. Как вы считаете, с чем это связано?
Дело в том, что все темы в курсе математики взаимосвязаны. Например, не зная логарифмов, ты не решишь задачи на сложный процент; не зная тригонометрии, ты не решишь базовых задач навигации, и так далее. И если человек получает хорошие оценки по математике, то это значит, что он может работать много, тяжело и аккуратно, умеет концентрироваться, привык работать с числами. Это действительно очень ценно, но, по правде говоря, это самая примитивная сторона математики. Гораздо ценнее и интересней — хотя и гораздо сложнее — математика анализа: умение изучить сложную проблему, разложить ее на простые составляющие и решить оптимальным способом. Кстати, проблема совсем не обязательно должна быть вычислительной. Еще интереснее прикладная математика, или математическое моделирование. Ее предмет — разные математические объекты с их структурой и правилами операций над ними — происходит из моделей всевозможных явлений окружающего мира, часто — многих явлений. Например, «5» — это и пять монет, и пять карет. Или, например, уравнения — суть модели разных природных законов, которые традиционно формулируются в форме баланса. Все фундаментальные математические задачи связаны с предсказанием или планированием каких-то действий или явлений.
А если человек — гуманитарий, и не собирается быть профессиональным математиком?
А гуманитариев нет! Есть люди, которым не подходит стандартный способ изучения математики. Это как с иностранным языком: существует множество методик обучения иностранным языкам, которые подходят одним людям и совершенно не подходят другим. И это сравнение не случайно: математика — это ведь тоже язык. Язык точных высказываний. Не случайно математическое мышление помогает изучать языки: хорошо настроенный ум легче отслеживает и запоминает структуру языка, а развитая память помогает со словарным и фразеологическим запасом. Кроме того, математическое мышление помогает понимать и анализировать тексты. Особенно юридические. Даже художнику знание математики поможет: оно подарит ему огромное количество нестандартных образов, гармонично ассоциированных друг с другом. Есть поговорка: математик сделает это лучше. Обладая памятью, мощным рациональным мышлением, умением наблюдать и обобщать, точностью, аккуратностью, концентрацией и трудолюбием, он сделает лучше все, за что ни возьмется. Если возьмется.
Можно подробнее про разные способы обучения математике, особенно детей? И что математика даст ребенку?
Существует пороговый возраст — 11 лет. В этом возрасте у человека начинается пубертат и развиваются способности к абстрактному мышлению. Математика до и после 11 лет — очень разная, как и люди в этих возрастах. До 11 имеет смысл учить математическим техникам, обращая достаточно мало внимания на обоснования постановки задач. Грубо говоря, из математики лучше делать игру, и она принесет ребенку пользу, поскольку будет развивать так называемые математические способности. А именно: умение быстро оперировать достаточно сложными объектами улучшит его аналитические способности, особенно если фокусироваться именно на анализе, то есть навыке разложения сложных предметов на простые. Аналитическая геометрия здорово разовьет пространственное воображение ребенка, особенно если делать так, как делаем мы: давать декартовы координаты с 4-5 лет. Это очень просто, ведь ребенок не знает, что это сложно. И если дать ему лист в клеточку, показать, как эти клеточки нумеруются, где начало отсчета и как происходит смещение, то он будет двигать фигурки по своей карте, записывать их положение в координатах, а смещение — в векторной форме, хотя он может и не знать слова «вектор». Чем это ему помогает? Он учится превращать картинку в числовой набор, а числовой набор — обратно в картинку. В результате у него отлично развивается ассоциативное мышление.
Хорошо подводить ребенка к изучению таблицы умножения через вычисление площадей. Площадь фигуры — это количество квадратиков один на один, которые туда можно вместить. Разумеется, при этом квадратики можно разрезать, частички можно складывать, как удобно. Как всякие операции с ручкой, пластилином, кистью и карандашом развивают у ребенка мелкую моторику, так разрезание и перекомбинация фигур стимулируют аналитические способности. Посмотрел на картинку, немедленно разбил ее на простые составляющие, прикинул, как ее можно перекомбинировать для решения какой-то задачи. Пусть ребенок еще не вполне осмысливает, что он делает, — но и ходить он начинает, еще не имея никакого понятия о законах механики.
Таблица умножения при этом возникает совершенно естественно: рисуешь по клеткам прямоугольник 3 на 5 и предлагаешь посчитать, сколько там клеток. Несколько раз ребенок считает по одной клеточке, потом понимает, что по три или по пять считать удобнее. Самые простые таблицы умножения — это два, пять и десять — я бы начинал изучение именно с них.
Впрочем, есть некоторые темы, которые остаются больными и тяжелыми в любых странах и при любом подходе. Например, тема дробей. Существуют два подхода к их преподаванию. Обычно дроби дают только в средней школе (11+), опираясь на то, что до этого возраста человек еще не способен к необходимому абстрактному мышлению. Но здесь нас подстерегает другая проблема: в переходном возрасте человеку не до сложных вычислительных техник. Пубертат — это возраст, когда человек предназначен для другого: «для войны и любви», как отметил Марк Твен. Чтобы увлечь его дробями, нужно убедительно обосновать, зачем это нужно, и почему это интересно. Поэтому мы пошли другим путем. Во-первых, сформулировали правила операций с дробями проще, чтобы младший школьник мог их освоить. Во-вторых, мы преподаем их в виде острой конкурентной игры, азартом перебивая сложность техники. В-третьих, мы все же показываем интуитивность этих правил на дробях с одинаковыми знаменателями, на решениях уравнений и так далее. В-четвертых, очень выручают текстовые задачи, где сопереживание героям дает дополнительный стимул разобраться с новым типом задач. Так что к пубертату наш школьник подходит, зная круг мотивационных задач, обладая техникой вычислений и даже сформировав некое эмпирическое обоснование этой техники. Ему остается только осознать, что и почему он делает. Впрочем, это все еще остается сложной задачей.
Расскажите, пожалуйста, о том, как учить математике пубертатных подростков.
Первая задача — научить рациональным математическим доказательствам. Человек искренне не понимает, зачем что-то доказывать, когда утверждение легко подтверждается примерами. Но если рассказать, как древние греки спорили друг с другом, какие у них были соревнования на городских площадях по принципу «я тебе докажу, что земля круглая, а ты мне — нет, потому что ты плохой логик!», а потом предложить сыграть в эту игру, то они будут играть, потому что самоутверждение для них очень важно. Еще полезно показывать им хорошие софизмы — простые доказательства очевидно неверных утверждений, содержащие неочевидную ошибку, и учить искать эту ошибку. А как хороши парадоксы — правильные рассуждения, ведущие к противоречию ввиду ложных допущений! Студенты их любят, поскольку они делают железную логику математики менее победоносной и оттого более человечной.
Впрочем, без проблем здесь не обходится, прежде всего потому, что программа включает новые вычислительные техники, необходимость изучения которых студенту надо еще доказать. И если логарифмы можно оправдать сложным процентом и непрерывным начислением — студенты с пониманием относятся к финансовым моделям, — то с тригонометрией и дифференциальным и интегральным исчислением все гораздо сложнее, потому что их мотивация связана с проблемами навигации и кораблестроения, которые сегодня не так легко убедительно объяснить.
Вы упомянули, что считаете игру хорошим методом преподавания. Существует много статей о пользе шахмат для математики. Что вы думаете по этому поводу?
Шахматы — это скорее комбинаторная игра. В ней много анализа, но мало строительства, создания новых понятий. В математике много комбинаторики, но все-таки математика — это как минимум наполовину строительство. Почему в 21 веке мы должны ограничиваться шахматами? Есть масса компьютерных игр, которые не хуже шахмат. Практически все приличные стратегические игрушки сочетают в себе комбинаторику и строительство. Единственная моя претензия к ним — они очень примитивные, машинные. В результате они получаются не столько сложными, сколько длинными — а это скучно. Китайские шахматы го, русские шашки или даже нарды — это все хорошие комбинаторные игры. Хорошо вносить в математику азарт игры. Разбейте класс на команды, пусть они задают друг другу задачи и оценивают решения друг друга. Давайте студентам за правильный ответ необычные награды, например, изменить или добавить слово в свое математическое имя, которым их зовут у вас на уроке. Устраивайте шумные викторины и эстафеты вместо мертвенно тихих тестов. Математика должна быть трудной, но веселой.
И последний вопрос. Естественно, чаще всего мы говорим о ситуации, когда ребенок рождается не в семье математиков. Что могут сделать родители?
Если есть время — играйте с ребенком в математику, решайте математические задачи, делитесь с ним своим интересом, если он у вас возник. Создавайте вокруг него маленький кружок математической культуры.
Может, стоит подыскать какой-то кружок или клуб?
Старый добрый принцип: не можешь сделать сам — найди специалиста. Но для маленького студента в возрасте до 11 лет пример родителей имеет дополнительную ценность.